2018年九下质检系列——福建福州倒二 （文中至少有13种解法）
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（2018·福建福州九下质检倒二）
已知菱形ABCD，E是BC边上一点，连接AE交BC于点F.
（1）如图1，当E是BC中点时，求证：AF＝2EF；
图1
（2）如图2，连接CF，若AB＝5，BD＝8，当△CEF为直角三角形时，求BE的长；
图2
（3）如图3，当∠ABC＝90°时，过点C作CG⊥AE交AE的延长线于点G，连接DG，若BE＝BF，求tan∠BDG的值.
图3
【图文解析】
（1）简析：直接通过AD∥BC，得到△BEF∽△DAF，得到AF：EF＝AD：BE＝2：1（E是BC的中点，且由菱形的性质知：BC＝AD），所以AF＝2EF.
（2）当△CEF为直角三角形时，显然需要分类讨论（需根据不同情况画出符合题意的图形，再利用菱形和直角三角形的性质解决）：
①当∠CEF＝900时，标注相关条件，连接AC（与对角线相关、且为菱形，连接AC为常用辅助线），并利用相关性质，不难得到(如下图示)：
得到AC=2OA=6从而S菱形＝0.5AC×BD＝…＝24，又S菱形＝BC×AE＝5AE，所以5AE＝24，得AE＝24/5.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝……＝7/5.下图示：
②当∠CFE＝900时，不难得到：
所以， DF＝7，BF＝8-7＝1.
由AD∥BC，通过相似及相似的性质，进一步得到：
BE：AD＝BF：DF
即BE/5＝1/7
解得BE＝5/7.
当然，也可用下列方法或解析法（建系）来解，但都较麻烦.
③由于点E在BC边上，有∠ECF≤∠ECA＜900，因此∠ECF＝900不存在.
综合所述，BE＝7/5或5/7.
（3）当∠ABC＝900时，四边形ABCD是正方形，同时CG⊥AE于G，由此可得到图中有很直角（当然相等），想到辅助圆，（本公众号也有较多相关文章，可点击“如何快速查找到本公众号的文章”打开，按照提示的方法同，输入关键词“辅助圆”，可获得相类似的系列文章，有兴趣的朋友可试试看）.
得到∠BDG＝∠BAE.
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下面还有，继续……
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其实本题还可以通过面积法和轴对称法等进行转化，但都相对较难，有兴趣的朋友可以到魔方群（530471110）中讨论.
【点评】本题考查的知识较多且综合，尤其是考查了辅助圆相关的内容，遗憾的是本题的“重要角”成了“准特殊角”，若将本题中的条件“BE＝BF”改为“一个确定的条件（如tan∠FBF＝2/3）”那可能会更完美些.
【反思】虽然本题解析提供了多种解法，但解法本质无非是辅助圆法、旋转法、对称法、解析（建系）法等，其实对于矩形与正方形相关的试题而言，这些方法通常都可适用.
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